【数学分析】集合 ① ( 集合概念 | 集合表示 | 常用的数集合 | 集合的表示 )
版本前瞻 2025-11-02 08:25:57
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一、集合概念二、集合表示三、常用的数集合四、集合的表示
一、集合概念
集合概念 : 具有某种 特定性质 具体的 或 抽象的 对象 汇集的 总体 ;
上述概念中的 " 对象 “ 又称为 ” 集合元素 " ;
二、集合表示
集合 通常使用 大写字母
S
,
T
,
A
,
B
,
X
,
Y
\rm S , T , A , B , X , Y
S,T,A,B,X,Y 表示 ;
集合元素 使用 小写字母
s
,
t
,
a
,
b
,
x
,
y
\rm s , t , a , b , x , y
s,t,a,b,x,y 表示 ;
元素
x
\rm x
x 是集合
S
\rm S
S 的元素 , 则表示为
x
∈
S
\rm x \in S
x∈S ;
元素
x
\rm x
x 不是集合
S
\rm S
S 的元素 , 则表示为
x
∉
S
\rm x \notin S
x∈/S ;
三、常用的数集合
自然数集合 :
N
=
{
0
,
1
,
2
,
⋯
}
\rm N = \{0,1,2,⋯\}
N={0,1,2,⋯}
正整数集合 :
N
+
=
{
1
,
2
,
3
,
⋯
}
\rm N^+ = \{1,2,3,⋯\}
N+={1,2,3,⋯}
整数集合 :
Z
=
{
0
,
±
1
,
±
2
,
⋯
}
\rm Z = \{ 0, \pm 1 , \pm 2 , \cdots \}
Z={0,±1,±2,⋯}
有理数集合 :
Q
=
{
x
∣
q
p
,
p
∈
N
+
,
q
∈
Z
}
\rm Q = \{ x | \cfrac{q}{p} , p \in N^+ , q \in Z \}
Q={x∣pq,p∈N+,q∈Z}
实数集合 :
R
\rm R
R
复数集合 :
C
\rm C
C
四、集合的表示
集合的表示 :
枚举法 : 枚举出集合中的所有元素 , 元素之间使用逗号分开 , 使用花括号 “{}” 括起来 ; 如 :
A
=
{
0
,
1
,
2
,
3
}
A = \{0, 1, 2, 3\}
A={0,1,2,3} ,
B
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
⋯
}
B = \{0, 1, 2, 3, \cdots\}
B={0,1,2,3,⋯}描述法 : 具有某种特性
P
\rm P
P 的元素 , 汇总的集合 ; 使用 谓词
P
(
x
)
\rm P(x)
P(x) 表示
x
\rm x
x 具有性质
P
\rm P
P , 使用
{
x
∣
P
(
x
)
}
\rm \{x | P(x)\}
{x∣P(x)} 表示具有性质
P
\rm P
P 的集合 ;
示例 :
2
2
2 的方根组成的集合 , 该集合中有两个元素 , 分别是正的方根
+
2
+\sqrt{2}
+2
和负的方根
−
2
-\sqrt{2}
−2
;
使用枚举法表示 :
S
=
{
+
2
,
−
2
}
\rm S = \{ +\sqrt{2} , -\sqrt{2} \}
S={+2
,−2
} ;
使用描述法表示 :
S
=
{
x
∣
x
2
=
2
}
\rm S = \{ x | x^2 = 2 \}
S={x∣x2=2} ;
有理数集合表示 :
Q
=
{
x
∣
q
p
,
p
∈
N
+
,
q
∈
Z
}
\rm Q = \{ x | \cfrac{q}{p} , p \in N^+ , q \in Z \}
Q={x∣pq,p∈N+,q∈Z} ;
集合中表示的元素 , 没有先后顺序 ,
{
a
,
b
}
\rm \{ a, b \}
{a,b} 和
{
b
,
a
}
\rm \{ b , a \}
{b,a} 是 相同的集合 ;
集合中的 重复元素没有意义 , 因此有
{
a
,
b
}
=
{
b
,
a
}
=
{
a
,
a
,
b
}
\rm \{ a, b \} = \{ b , a \} = \{ a, a, b \}
{a,b}={b,a}={a,a,b} ,
即使集合中 有两个
a
a
a 元素 , 其 本质还是一个
a
a
a 元素 ;